Bài tập 5, § 1

Cho E, $F_1, F_2$ là ba A-môđun và $f_1 : E \to F_1, f_1 : E \to F_2$ là hai ánh xạ tuyến tính. Tổng dính của $F_1$ và $F_2$ đối với $f_1$ và $f_2$ là môđun thương của $F_1 \times F_2$ bởi môđun con là ảnh của E dưới ánh xạ $z \mapsto (f_1(z), -f_2(z))$; nó được ký hiệu là $F_1 \oplus_E F_2$.

(a) Với mọi cặp có thứ tự các ánh xạ A-tuyến tính $u_1 : F_1 \to G, u_2 : F_2 \to G$ sao cho $u_1 \circ f_1 = u_2 \circ f_2$, hãy chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một ánh xạ A-tuyến tính $u : F_1 \oplus_E F_2 \to G$ sao cho $u \circ j_1 = u_1, u \circ j_2 = u_2$, trong đó $j_1$ và $j_2$ ký hiệu các hợp thành tương ứng của ánh xạ chính tắc

với các đơn ánh chính tắc $F_1 \to F_1 \times F_2, F_2 \to F_1 \times F_2$.

(b) Cho $E', F'_1, F'_2$ là ba A-môđun, $f'_1 : E' \to F'_1, f'_2 : E' \to F'_2$ là hai ánh xạ A-tuyến tính và $F'_1 \oplus_{E'} F'_2$ là tổng dính đối với các ánh xạ này. Với mọi hệ các ánh xạ A-tuyến tính $v_1 : F'_1 \to F_1, v_2 : F'_2 \to F_2, w : E' \to E$ sao cho $v_1 \circ f'_1 = f_1 \circ w, v_2 \circ f'_2 = f_2 \circ w$, gọi $v$ là ánh xạ A-tuyến tính từ $F'_1 \oplus_{E'} F'_2$ vào $F_1 \oplus_E F_2$ tương ứng với hai ánh xạ tuyến tính $j_1 \circ v_1$ và $j_2 \circ v_2$. Hãy chứng minh rằng nếu $v_1$ và $v_2$ là toàn ánh thì $v$ cũng toàn ánh; hãy cho một ví dụ trong đó $v_1$ và $v_2$ là đơn ánh nhưng $v$ không đơn ánh. Hãy chứng minh rằng nếu $w$ là toàn ánh và $v_1$ và $v_2$ đơn ánh, thì $v$ là đơn ánh.