Exercice 5, § 1

Soient $E, F_1, F_2$ trois $A$-modules, $f_1 : E \to F_1, f_2 : E \to F_2$ deux applications $A$-linéaires. On appelle somme amalgamée de $F_1$ et $F_2$ relative à $f_1$ et $f_2$ le module quotient de $F_1 \times F_2$ par le sous-module image de $E$ par l’application $z \mapsto (f_1(z), -f_2(z))$; on la note $F_1 \oplus_E F_2$. a) Pour tout couple d’applications $A$-linéaires $u_1 : F_1 \to G, u_2 : F_2 \to G$ telles que $u_1 \circ f_1 = u_2 \circ f_2$, montrer qu’il existe une application $A$-linéaire et une seule $u : F_1 \oplus_E F_2 \to G$ telle que $u \circ j_1 = u_1, u \circ j_2 = u_2$, en désignant par $j_1$ et $j_2$ les composées respectives de l’application canonique $F_1 \times F_2 \to F_1 \oplus_E F_2$ et des injections canoniques $F_1 \to F_1 \times F_2, F_2 \to F_1 \times F_2$. b) Soient $E', F'_1, F'_2$ trois $A$-modules, $f'_1 : E' \to F'_1, f'_2 : E' \to F'_2$ deux applications $A$-linéaires, $F'_1 \oplus_{E'} F'_2$ la somme amalgamée relative à ces applications. Pour tout système d’applications $A$-linéaires $v_1 : F'_1 \to F_1, v_2 : F'_2 \to F_2, w : E' \to E$ telles que $v_1 \circ f'_1 = f_1 \circ w, v_2 \circ f'_2 = f_2 \circ w$, soit $v$ l’application $A$-linéaire de $F'_1 \oplus_{E'} F'_2$ dans $F_1 \oplus_E F_2$ correspondant aux deux applications linéaires $j_1 \circ v_1$ et $j_2 \circ v_2$. Montrer que si $v_1$ et $v_2$ sont surjectives, il en est de même de $v$; donner un exemple où $v_1$ et $v_2$ sont injectives, mais $v$ n’est pas injective. Montrer que si $w$ est surjective, $v_1$ et $v_2$ injectives, alors $v$ est injective.