Bài tập 6, § 1

Cho một A-môđun E, ký hiệu $\gamma(E)$ là lực lượng nhỏ nhất trong các lực lượng của các hệ sinh của E.

(a) Nếu $0 \to E \to F \to G \to 0$ là một dãy khớp các A-môđun, thì

Hãy cho một ví dụ về một tích $F = E \times G$ sao cho $\gamma(E) = \gamma(F) = \gamma(G) = 1$ (lấy E và G là các thương của $\mathbf{Z}$).

(b) Nếu E là tổng của một họ $(F_\lambda)_{\lambda \in L}$ các môđun con, thì $\gamma(E) \leq \sum_{\lambda \in L} \gamma(F_\lambda)$.

(c) Nếu M và N là các môđun con của một môđun E, hãy chứng minh rằng