Exercice 6, § 1

Étant donné un $A$-module $E$, on désigne par $\gamma(E)$ le plus petit des cardinaux des systèmes générateurs de $E$. a) Si $0 \to E \to F \to G \to 0$ est une suite exacte de $A$-modules, on a

Donner un exemple d’un produit $F = E \times G$ tel que $\gamma(E) = \gamma(F) = \gamma(G) = 1$ (prendre pour $E$ et $G$ des quotients de $\mathbf{Z}$). b) Si $E$ est somme d’une famille $(F_\lambda)_{\lambda \in L}$ de sous-modules, on a $\gamma(E) \leq \sum_{\lambda \in L} \gamma(F_\lambda)$. c) Si $M$ et $N$ sont des sous-modules d’un module $E$, montrer que