Bài tập 11, § 10

Cho $E$ là một không gian vectơ phải trên một trường $K$, có chiều $\geq 1$, và $H$ là một siêu phẳng của $E$. Mọi tự đồng cấu $u$ của $E$ giữ bất biến từng phần tử của $H$ đều cho, khi chuyển qua các nhóm thương, một tự đồng cấu của không gian thương 1 chiều $E/H$, một tự đồng cấu do đó có dạng $\dot{x} \mapsto \dot{x} \mu(\dot{x})$, trong đó $\mu(\dot{x}) \in K$ là sao cho $\mu(\dot{x}\lambda) = \lambda^{-1} \mu(\dot{x}) \lambda$ với $\lambda \in K^*$. Một tự đẳng cấu của $E$ giữ bất biến các phần tử của $H$ được gọi là một phép xuyên của siêu phẳng $H$ nếu tự đẳng cấu tương ứng của $E/H$ là đồng nhất và là một phép co giãn của siêu phẳng $H$ trong trường hợp ngược lại; khi $u$ là một phép co giãn, tập hợp các phần tử $\mu(\dot{x})$ với $\dot{x} \in E/H$ là một lớp các phần tử liên hợp trong nhóm nhân $K^*$, được gọi là lớp của phép co giãn $u$.

(a) Chứng minh rằng đối với mỗi phép co giãn tồn tại duy nhất một đường thẳng phụ của H, bất biến dưới phép co giãn.

(b) Cho $\phi$ là một dạng tuyến tính trên E sao cho $H = \phi^{-1}(0)$; chứng minh rằng đối với mỗi phép xuyên $u$ của siêu phẳng H tồn tại duy nhất một vectơ $a \in H$ sao cho $u(x) = x + a\phi(x)$ với mọi $x \in E$. Gọi $\Gamma(E, H)$ là nhóm con của $\mathbf{GL}(E)$ gồm các tự đẳng cấu giữ bất biến từng phần tử của H; chứng minh rằng các phép xuyên của siêu phẳng H tạo thành một nhóm con giao hoán chuẩn tắc $\Theta(E, H)$ của $\Gamma(E, H)$ đẳng cấu với nhóm cộng H; nhóm thương $\Gamma(E, H)/\Theta(E, H)$ đẳng cấu với nhóm nhân $K^*$. Để $\Gamma(E, H)$ giao hoán, điều kiện cần và đủ là một trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn: ($\alpha$) K là một trường có hai phần tử; ($\beta$) K giao hoán và $\dim E = 1$.

(c) Giả sử rằng E là hữu hạn chiều; chứng minh rằng đối với mỗi phép xuyên $u$ tồn tại một cơ sở của E sao cho ma trận của $u$ đối với cơ sở này có tất cả các phần tử đường chéo bằng 1 và nhiều nhất một phần tử khác $\neq 0$.

(d) Chứng minh rằng nhóm tâm hóa (I, § 5, no. 3) của nhóm $\Theta(E, H)$ trong nhóm $\mathbf{GL}(E)$ là hợp thành $Z(E)\Theta(E, H) = \Theta(E, H)Z(E)$ của $\Theta(E, H)$ và tâm $Z(E)$ của $\mathbf{GL}(E)$ (xem § 1, Bài tập 26). Các tự đẳng cấu duy nhất thuộc nhóm tâm hóa này và giữ bất biến ít nhất một phần tử $\neq 0$ của E là các phép xuyên của nhóm $\Theta(E, H)$. Nếu K có ít nhất 3 phần tử, nhóm tâm hóa của $\Gamma(E, H)$ trong $\mathbf{GL}(E)$ bằng $Z(E)$.

(e) Chứng minh rằng các nhóm chuẩn hóa (I, § 5, no. 3) của $\Theta(E, H)$ và $\Gamma(E, H)$ trong $\mathbf{GL}(E)$ đều bằng nhóm con gồm các tự đẳng cấu giữ H bất biến.