Exercice 11, § 10

Soient E un espace vectoriel à droite sur un corps K, de dimension $\geq 1$, H un hyperplan de E. Tout endomorphisme $u$ de E, laissant invariant chacun des éléments de H, donne, par passage aux quotients, un endomorphisme de l’espace quotient E/H de dimension 1, endomorphisme qui est donc de la forme $\dot{x} \mapsto \dot{x} \mu(\dot{x})$, où $\mu(\dot{x}) \in K$ est tel que $\mu(\dot{x} \lambda) = \lambda^{-1} \mu(\dot{x}) \lambda$ pour $\lambda \in K^*$. Un automorphisme de E laissant invariants les éléments de H est appelé transvection d’hyperplan H si l’automorphisme correspondant de E/H est l’identité, dilatation d’hyperplan H dans le cas contraire; lorsque $u$ est une dilatation, l’ensemble des éléments $\mu(\dot{x})$ pour $\dot{x} \in E/H$, qui est une classe d’éléments conjugués dans le groupe multiplicatif $K^*$, est appelé la classe de la dilatation $u$.

a) Montrer que pour toute dilatation, il existe une droite supplémentaire de H et une seule, invariant par la dilatation.

b) Soit φ une forme linéaire sur E telle que H = $\overline{\varphi}^1(0)$; montrer que pour toute transvection u d’hyperplan H, il existe un unique vecteur $a \in H$ tel que $u(x) = x + a\varphi(x)$ pour tout $x \in E$. Soit $\Gamma(E, H)$ le sous-groupe de $\mathbf{GL}(E)$ formé des automorphismes laissant invariant chaque élément de H; montrer que les transvections d’hyperplan H forment un sous-groupe commutatif distingué $\Theta(E, H)$ de $\Gamma(E, H)$, isomorphe au groupe additif H; le groupe quotient $\Gamma(E, H)/\Theta(E, H)$ est isomorphe au groupe multiplicatif K*. Pour que $\Gamma(E, H)$ soit commutatif, il faut et il suffit que l’une des deux conditions suivantes soit vérifiée: α) K est un corps à deux éléments; β) K est commutatif et dim E = 1.

c) On suppose que E est de dimension finie; montrer que pour toute transvection u, il existe une base de E telle que la matrice de u par rapport à cette base ait tous ses éléments diagonaux égaux à 1, et au plus un autre élément $\neq 0$.

d) Montrer que le centralisateur (I, p. 54) du groupe $\Theta(E, H)$ dans le groupe $\mathbf{GL}(E)$ est le composé $Z(E)\Theta(E, H) = \Theta(E, H)Z(E)$ de $\Theta(E, H)$ et du centre $Z(E)$ de $\mathbf{GL}(E)$ (cf. II, p. 182, exerc. 26). Les seuls automorphismes appartenant à ce centralisateur et laissant invariant au moins un élément $\neq 0$ de E sont les transvections du groupe $\Theta(E, H)$. Si K a au moins 3 éléments, le centralisateur de $\Gamma(E, H)$ dans $\mathbf{GL}(E)$ est égal à $Z(E)$.

e) Montrer que les normalisateurs (I, p. 54) de $\Theta(E, H)$ et de $\Gamma(E, H)$ dans $\mathbf{GL}(E)$ sont tous deux égaux au sous-groupe formé des automorphismes laissant invariant H.