Bài tập 12, § 10

Cho E là một không gian vectơ phải chiều $\geqslant 1$ trên một trường K. Ký hiệu $F(E)$ là nhóm con chuẩn của $\mathbf{GL}(E)$ gồm các tự đẳng cấu $u$ sao cho hạt nhân của $1_E - u$ có đối chiều hữu hạn (do đó $F(E) = \mathbf{GL}(E)$ nếu E hữu hạn chiều). Ký hiệu $\mathbf{SL}(E)$ là nhóm con chuẩn của $\mathbf{GL}(E)$ sinh bởi tất cả các phép xuyên vị (Bài tập 11); nó được chứa trong $F(E)$.

(a) Nếu $\dim E \geqslant 2$, hãy chỉ ra rằng với mọi cặp có thứ tự các vectơ khác không $x, y$ của E, tồn tại một phép xuyên vị hoặc tích của hai phép xuyên vị biến $x$ thành $y$ (nói cách khác $\mathbf{SL}(E)$ tác động bắc cầu trên $E - \{0\}$).

(b) Cho V, W là hai siêu phẳng của E, $\dot{x}_0 = x_0 + V$ một lớp mod. V khác V và $\dot{y}_0 = y_0 + W$ một lớp mod. W khác W. Hãy chỉ ra rằng nếu $\dim E \geqslant 2$, tồn tại một phép xuyên vị hoặc tích của hai phép xuyên vị biến V thành W và $\dot{x}_0$ thành $\dot{y}_0$ (trước hết xét trường hợp V và W phân biệt).

(c) Nếu $\dim E \geqslant 2$, hãy chỉ ra rằng hai phép xuyên vị bất kỳ khác đồng nhất đều liên hợp trong nhóm $F(E)$.

(d) Nếu $\dim E \geqslant 3$, hãy chỉ ra rằng hai phép xuyên vị bất kỳ khác đồng nhất đều liên hợp trong nhóm $\mathbf{SL}(E)$ (dùng (b) để rút gọn về trường hợp các siêu phẳng của hai phép xuyên vị là như nhau, rồi dùng (a)).

(e) Giả sử rằng dim E = 2. Để hai phép xuyên vị bất kỳ liên hợp trong $\mathbf{SL}(E)$, điều kiện cần và đủ là nhóm con Q của K* sinh bởi các bình phương của các phần tử của K* trùng với K*. (Nếu u là một phép xuyên vị khác đồng nhất, a một vectơ của E không bất biến dưới u và $b = u(a) - a$, hãy chỉ ra rằng, với mọi phép xuyên vị $u'$ liên hợp với u trong $\mathbf{SL}(E)$, $u'(a) - a = a\lambda + b\mu$, với $\mu = 0$ hoặc $\mu \in Q$; để làm điều này hãy dùng sự kiện rằng trong một nhóm G mọi tích $sts^{-1}t$ là một tích các bình phương.)

(f) Giả sử rằng dim E $\geqslant 2$. Để hai phép vị tự $u, u'$ sao cho tồn tại một $v \in \mathbf{SL}(E)$ với $u' = vuv^{-1}$, điều kiện cần và đủ là các lớp (Bài tập 11) của u và $u'$ là như nhau (dùng (b)). Suy ra rằng nếu lớp của một phép vị tự được chứa trong nhóm giao hoán tử của K*, thì phép vị tự này thuộc nhóm $\mathbf{SL}(E)$ (chú ý rằng $(vuv^{-1})u^{-1} = v(uv^{-1}u^{-1})$).