Exercice 12, § 10

Soit E un espace vectoriel à droite le dimension $\geqslant 1$ sur un corps K. On désigne par F(E) le sous-groupe distingué de $\mathbf{GL}(E)$ formé des automorphismes u tels que le noyau de $1_E - u$ soit de codimension finie (on a donc $F(E) = \mathbf{GL}(E)$ si E est de dimension finie). On désigne par $\mathbf{SL}(E)$ le sous-groupe distingué de $\mathbf{GL}(E)$ engendré par toutes les transvections (exerc. 11); il est contenu dans F(E).

a) Si dim E $\geqslant 2$, montrer que pour tout couple de vecteurs x, y non nuls de E, il existe une transvection, ou un produit de deux transvections, qui transforme x en y (autrement dit $\mathbf{SL}(E)$ opère transitivement dans $E - \{0\}$).

b) Soient V, W deux hyperplans de E, $\dot{x}_0 = x_0 + V$ une classe mod. V distincte de V, $\dot{y}_0 = y_0 + W$ une classe mod. W distincte de W. Montrer que si dim E $\geqslant 2$, il existe une transvection, ou un produit de deux transvections, qui transforme V en W et $\dot{x}_0$ en $\dot{y}_0$ (considérer d’abord le cas où V et W sont distincts).

c) Si dim E $\geqslant 2$, montrer que deux transvections quelconques, distinctes de l’identité, sont conjuguées dans le groupe F(E).

d) Si dim E $\geqslant 3$, montrer que deux transvections quelconques, distinctes de l’identité, sont conjuguées dans le groupe $\mathbf{SL}(E)$ (se ramener à l’aide de b) au cas où les hyperplans des deux transvections sont identiques, puis utiliser a)).

e) On suppose que dim E = 2. Pour que deux transvections quelconques soient conjuguées dans $\mathbf{SL}(E)$, il faut et il suffit que le sous-groupe Q de K* engendré par les carrés des éléments de K* soit identique à K*. (Si u est une transvection distincte de l’identité, a un vecteur de E non invariant par u et $b = u(a) - a$, montrer que pour toute transvection $u'$ conjuguée de u dans $\mathbf{SL}(E)$, on a $u'(a) - a = a\lambda + b\mu$, avec $\mu = 0$ ou $\mu \in Q$; on utilisera pour cela le fait que dans un groupe G, tout produit $sts^{-1}t$ est un produit de carrés.)

f) On suppose que dim E $\geqslant 2$. Pour que deux dilatations u, $u'$ soient telles qu’il existe un $v \in \mathbf{SL}(E)$ tel que $u' = vuv^{-1}$, il faut et il suffit que les classes (exerc. 11) de u et $u'$ soient les mêmes (utiliser b)). En déduire que si la classe d’une dilatation est contenue dans le groupe des commutateurs de K*, cette dilatation appartient au groupe $\mathbf{SL}(E)$ (observer que $(vuv^{-1})u^{-1} = v(uv^{-1}u^{-1})$).