Bài tập 13, § 10

Cho $E$ là một không gian vectơ phải có chiều $\geqslant 2$, $H_0$ là một siêu phẳng của E.

a) Bây giờ chứng minh rằng mọi tự đẳng cấu u thuộc F(E) (Bài tập 12) đều là tích của một tự đẳng cấu của $\mathbf{SL}(E)$ và có thể thêm một phép co giãn theo siêu phẳng $H_0$ (tiến hành bằng quy nạp theo đối chiều của hạt nhân của $1_E - u$, sử dụng các Bài tập 12 a) và 12 f)).

b) Bây giờ chứng minh rằng $\mathbf{SL}(E)$ chứa nhóm các giao hoán tử của F(E) và trùng với nhóm này trừ khi E là một không gian có chiều 2 trên trường có 2 phần tử. (Để chỉ ra rằng $\mathbf{SL}(E)$ chứa nhóm các giao hoán tử của $F(E)$, sử dụng a) và Bài tập 12 $f$). Để thấy rằng $\mathbf{SL}(E)$ được chứa trong nhóm các giao hoán tử của $F(E)$ trừ trường hợp ngoại lệ đã chỉ ra, chứng minh rằng với mọi đồng cấu của $F(E)$ vào một nhóm giao hoán, ảnh của một phép xuyên vị là phần tử đơn vị, sử dụng các Bài tập 11 b) (II, p. 206) và 12 c).

c) Bây giờ chứng minh rằng $\mathbf{SL}(E)$ bằng nhóm các giao hoán tử của nó trừ khi $\dim E = 2$ và $K$ có 2 hoặc 3 phần tử. (Nếu $\dim E \geqslant 3$, nhận xét rằng mọi phép xuyên vị $u$ có thể được viết thành $v w v^{-1} w^{-1}$, trong đó $v$ là một phép xuyên vị và $w \in \mathbf{SL}(E)$, sử dụng Bài tập 12 d). Nếu $\dim E = 2$, trước hết nhận xét rằng mọi tự đẳng cấu $u$ mà ma trận của nó đối với một cơ sở của $E$ có dạng $\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix}$ là tích của các phép xuyên vị bằng cách tiến hành như trong a); sau đó xét giao hoán tử $uvu^{-1}v^{-1}$, trong đó $v$ là phép xuyên vị có ma trận đối với cùng cơ sở là $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$).