Exercice 13, § 10

Soient E un espace vectoriel à droite de dimension $\geqslant 2$, $H_0$ un hyperplan de E.

a) Montrer que tout automorphisme u appartenant à F(E) (exerc. 12) est produit d’un automorphisme de $\mathbf{SL}(E)$ et éventuellement d’une dilatation d’hyperplan $H_0$ (procéder par récurrence sur la codimension du noyau de $1_E - u$, en utilisant les exerc. 12 a) et 12 f)).

b) Montrer que $\mathbf{SL}(E)$ contient le groupe des commutateurs de F(E) et est identique à ce groupe sauf lorsque E est un espace de dimension 2 sur le corps à 2 éléments. (Pour montrer que $\mathbf{SL}(E)$ contient le groupe des commutateurs de $F(E)$, utiliser a) et l’exerc. 12 $f$). Pour voir que $\mathbf{SL}(E)$ est contenu dans le groupe des commutateurs de $F(E)$ sauf dans le cas d’exception indiqué, montrer que pour tout homomorphisme de $F(E)$ dans un groupe commutatif, l’image d’une transvection est l’élément neutre, en utilisant les exerc. 11 b) (II, p. 206) et 12 c). c) Montrer que $\mathbf{SL}(E)$ est égal à son groupe des commutateurs sauf lorsque $\dim E = 2$ et que $K$ a 2 ou 3 éléments. (Si $\dim E \geqslant 3$, remarquer que toute transvection $u$ s’écrit $v w v^{-1} w^{-1}$, où $v$ est une transvection et $w \in \mathbf{SL}(E)$, en utilisant l’exerc. 12 d). Si $\dim E = 2$, remarquer d’abord que tout automorphisme $u$ dont la matrice par rapport à une base de $E$ est de la forme $\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix}$ est un produit de transvections en procédant comme dans a); considérer ensuite le commutateur $uvu^{-1}v^{-1}$, où $v$ est la transvection dont la matrice par rapport à la même base est $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$).