Bài tập 16, § 10

(a) Cho $U$ là một ma trận vuông cấp $n$ trên trường $\mathbf{Q}$ mà mọi phần tử không nằm trên đường chéo đều bằng cùng một số hữu tỉ $r > 0$ và đường chéo $(d_1, \ldots, d_n)$ của nó sao cho $d_i \geq r$ với mọi $i$ và $d_i > r$ trừ có thể một giá trị của $i$. Chứng minh rằng $U$ khả nghịch (nếu $x = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một nghiệm của phương trình $U.x = 0$, chứng minh rằng các $x_i$ đều có cùng dấu và suy ra rằng tất cả chúng đều bằng không).

(b) Cho $E$ là một tập hợp hữu hạn gồm $m$ phần tử được ký hiệu bởi $a_i$ ($1 \leq i \leq m$) và $(A_j)_{1 \leq j \leq n}$ là một họ gồm $n$ tập hợp con của $E$, phân biệt với nhau; giả sử rằng $\operatorname{Card}(A_i \cap A_j) = r \geq 1$ với mọi cặp có thứ tự $(i, j)$ của các phần tử phân biệt của $\{1, n\}$. Chứng minh rằng tất yếu $n \leq m$. (Cho $V = (c_{ij})$ là ma trận kiểu $(m, n)$ sao cho $c_{ij} = 1$ khi $a_i \in A_j, c_{ij} = 0$ trong trường hợp khác. Áp dụng (a) cho ma trận $tV.V$ cấp $n$.)