Exercice 16, § 10

a) Soit U une matrice carrée d’ordre n sur le corps $\mathbf{Q}$, dont tous les éléments non diagonaux sont égaux à un même nombre rationnel r > 0, et dont la diagonale ($d_1, \ldots, d_n$) est telle que $d_i \geq r$ pour tout i et $d_i > r$ peut-être pour une valeur de i. Montrer que U est inversible (si $x = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une solution de l’équation $U.x = 0$, montrer que les $x_i$ sont tous de même signe et en déduire qu’ils sont tous nuls). b) Soient E un ensemble fini ayant m éléments notés $a_i$ ($1 \leq i \leq m$), $(A_j)_{1 \leq j \leq n}$ une famille de n parties de E, deux à deux distinctes ; on suppose que l’on a Card$(A_i \cap A_j) = r \geq 1$ pour tout couple (i, j) d’éléments distincts de {1, n}. Montrer que l’on a nécessairement $n \leq m$. (Soit $V = (c_{ij})$ la matrice de type (m, n) telle que $c_{ij} = 1$ lorsque $a_i \in A_j, c_{ij} = 0$ dans le cas contraire. Appliquer a) à la matrice $^tV.V$ d’ordre n.)