Bài tập 17, § 10

Cho K là một trường (giao hoán hoặc không), E là một không gian vectơ phải có chiều n trên K, u là một tự đồng cấu của E. (a) Bây giờ chứng minh rằng nếu $n > 1$ và nếu u không phải là một phép vị tự trung tâm, thì tồn tại một cơ sở của E sao cho ma trận của u đối với cơ sở này có dạng $(\alpha_{ij})$ với $\alpha_{ij} = 0$ đối với $j > i + 1$ và $\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_{i, i+1} = 1$ (lý luận bằng quy nạp theo n). (b) Bây giờ chứng minh rằng nếu $n > 2$, thì tồn tại một cơ sở của E sao cho ma trận của u đối với cơ sở này có dạng $(\alpha_{ij})$ với $\alpha_{ij} = 0$ đối với $j > i + 1$ và $\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_{i, i+1} = 0$. (Lý luận bằng quy nạp theo n bằng cách sử dụng (a), chú ý rằng chứng minh mệnh đề cho u hay cho $u + \gamma 1_E$ là như nhau, trong đó $\gamma$ thuộc tâm của K, và bằng cách nghiên cứu riêng trường hợp u có hạng 1 hoặc 2.) (c) Cho $A = (\alpha_{ij})$ là một ma trận có các tính chất được mô tả trong (b). Mặt khác, cho S là ma trận $(\varepsilon_{ij})$ cấp n sao cho $\varepsilon_{ij} = 0$, ngoại trừ trường hợp $i = j + 1$ trong đó $\varepsilon_{j+1, j} = 1$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một ma trận $B = (\beta_{ij})$ cấp n sao cho $A = \lambda E_{nn} + (BS - SB)$ với $\lambda \in K$. (Chọn B sao cho $\beta_{i1} = 0$ với $1 \leq i \leq n$ và $\beta_{ij} = 0$ với $j > i + 2$.) (d) Giả sử K giao hoán. Suy ra từ (c) rằng mọi tự đồng cấu u của E sao cho $\mathrm{Tr}(u) = 0$ có thể được viết thành $vw - wv$, trong đó v và w là các tự đồng cấu của E.