Exercice 17, § 10

Soient K un corps (commutatif ou non), E un espace vectoriel à droite de dimension n sur K, u un endomorphisme de E. a) Montrer que si $n > 1$ et si u n’est pas une homothétie centrale, il existe une base de E telle que la matrice de u par rapport à cette base soit de la forme $(\alpha_{ij})$ avec $\alpha_{ij} = 0$ pour $j > i + 1$ et $\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_{i, i+1} = 1$ (raisonner par récurrence sur n). b) Montrer que si $n > 2$, il existe une base de E telle que la matrice de u par rapport à cette base soit de la forme $(\alpha_{ij})$ avec $\alpha_{ij} = 0$ pour $j > i + 1$ et $\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_{i, i+1} = 0$. (Raisonner par récurrence sur n en utilisant a), en notant qu’il revient au même de prouver la proposition pour u ou pour $u + \gamma 1_E$, où $\gamma$ appartient au centre de K, et en étudiant séparément le cas où u est de rang 1 ou 2.) c) Soit $A = (\alpha_{ij})$ une matrice ayant les propriétés décrites dans b). Soit d’autre part S la matrice $(\varepsilon_{ij})$ d’ordre n telle que $\varepsilon_{ij} = 0$, sauf pour $i = j + 1$ où $\varepsilon_{j+1, j} = 1$. Montrer qu’il existe une matrice $B = (\beta_{ij})$ d’ordre n telle que $A = \lambda E_{nn} + (BS - SB)$ avec $\lambda \in K$. (Prendre B telle que $\beta_{i1} = 0$ pour $1 \leq i \leq n$ et $\beta_{ij} = 0$ pour $j > i + 2$). d) On suppose K commutatif. Déduire de c) que tout endomorphisme u de E tel que $\mathrm{Tr}(u) = 0$ peut s’écrire $vw - wv$, où v et w sont des endomorphismes de E.