Bài tập 5, § 10

Cho $\mathbf{A}$ là một vành, $\mathbf{L}, \mathbf{M}, \mathbf{N}$ là ba tập chỉ số bất kỳ, $U = (a_{\lambda \mu})$ là một ma trận của $\mathbf{A}^{\mathbf{L} \times \mathbf{M}}$ và $V = (b_{\mu \nu})$ là một ma trận của $\mathbf{A}^{\mathbf{M} \times \mathbf{N}}$; nếu, với mọi cặp có thứ tự $(\lambda, \nu) \in \mathbf{L} \times \mathbf{N}$, họ $(a_{\lambda \mu} b_{\mu \nu})$ ($\mu \in \mathbf{M}$) có giá hữu hạn, thì phần tử $c_{\lambda \nu} = \sum_{\mu} a_{\lambda \mu} b_{\mu \nu}$ được xác định và người ta cũng nói rằng ma trận $(c_{\lambda \nu})$ là tích $UV$ của $U$ với $V$. Khi các tích $UV'$ và $UV''$ được xác định, thì $U(V' + V'')$ cũng được xác định và $UV' + UV'' = U(V' + V'')$; đảo lại có đúng không? Hãy cho một ví dụ về ba ma trận vô hạn, $U, V, W$ sao cho các tích $UV, VW, U(VW)$ và $(UV)W$ được xác định nhưng $U(VW) \neq (UV)W$ (lấy $U$ là một ma trận có một hàng mà mọi phần tử đều bằng 1, $W$ là ma trận chuyển vị của nó và $V$ là một ma trận mà mọi phần tử đều là 0, 1 hoặc $-1$ và chỉ có một số hữu hạn phần tử $\neq 0$ trong mỗi hàng và mỗi cột. Hãy xác định bằng quy nạp các phần tử của $V$ sao cho $UV = 0$ nhưng $VW$ có đúng một phần tử $\neq 0$.)