Exercice 5, § 10

Soient A un anneau, L, M, N trois ensembles d’indices quelconques, $U = (a_{\lambda \mu})$ une matrice de $A^{L \times M}$, $V = (b_{\mu v})$ une matrice de $A^{M \times N}$; si, pour tout couple $(\lambda, v) \in L \times N$, la famille $(a_{\lambda \mu} b_{\mu v})$ ($\mu \in M$) a un support fini, l’élément $c_{\lambda v} = \sum_{\mu} a_{\lambda \mu} b_{\mu v}$ est défini, et on dit encore que la matrice $(c_{\lambda v})$ est le produit $UV$ de $U$ par $V$. Lorsque les produits $UV'$ et $UV''$ sont définis, il en est de même de $U(V' + V'')$ et on a $UV' + UV'' = U(V' + V'')$; la réciprocité est-elle vraie? Donner un exemple de trois matrices infinies $U, V, W$ telles que les produits $UV, VW, U(VW)$ et $(UV)W$ soient définis, mais que l’on ait $U(VW) \neq (UV)W$ (prendre pour $U$ une matrice à une ligne dont tous les éléments sont égaux à 1, pour $W$ sa transposée, pour $V$ une matrice dont tous les éléments sont égaux à 0, 1 ou –1, et qui n’a qu’un nombre fini d’éléments $\neq 0$ dans chaque ligne et chaque colonne. Déterminer par récurrence les éléments de $V$ de sorte que $UV = 0$ mais que $VW$ ait un seul élément $\neq 0$.