Bài tập 6, § 10

Cho $X$ là một ma trận có $m$ hàng và $n$ cột trên một trường $K$; hãy chứng minh rằng hạng $\operatorname{rg}(X)$ bằng lớn nhất trong các hạng của các ma trận con của $X$ có cùng số hàng và số cột. (Cho $\operatorname{rg}(X) = r$; nếu $a_1, \ldots, a_r$ là $r$ cột của $X$ tạo thành một hệ tự do trong $K_d^m$ và một cơ sở của $K_d^m$ được tạo thành bởi $r$ vectơ này và $m - r$ vectơ của cơ sở chính tắc, hãy chứng minh rằng các thành phần của $a_1, \ldots, a_r$ theo $r$ vectơ còn lại của cơ sở chính tắc tạo thành một ma trận có hạng $r$.)