Exercice 6, § 10

Soit $X$ une matrice à m lignes et n colonnes sur un corps K; montrer que le rang $\mathrm{rg}(X)$ est égal au plus grand des rangs des sous-matrices de $X$ ayant un nombre égal de lignes et de colonnes. (Soit $\mathrm{rg}(X) = r$; si $a_1, \ldots, a_r$ sont r colonnes de $X$ formant un système libre dans $K_d^m$, et si on forme une base de $K_d^m$ avec ces r vecteurs et $m - r$ vecteurs de la base canonique, montrer que les composantes de $a_1, \ldots, a_r$ sur les r autres vecteurs de la base canonique forment une matrice de rang $r$.)