Bài tập 11, § 2

Cho $A$ là một vành, và cho $I$ là một $A$-môđun. Ta nói rằng $I$ là đơn ánh nếu, đối với mọi dãy khớp $E' \to E \to E''$ của các ánh xạ A-tuyến tính, dãy $\mathrm{Hom}(E'', I) \to \mathrm{Hom}(E, I) \to \mathrm{Hom}(E', I)$ là khớp. a) Bây giờ chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: α) $I$ là đơn ánh. β) Đối với mọi dãy khớp $0 \to E' \to E \to E'' \to 0$ của các ánh xạ A-tuyến tính, dãy

là khớp. γ) Đối với mọi $A$-môđun $M$ và mọi môđun con $N$ của $M$, mọi ánh xạ A-tuyến tính từ $N$ vào $I$ mở rộng được thành một ánh xạ A-tuyến tính từ $M$ vào $I$.

δ) Đối với mọi iđêan trái $a$ của $A$ và mọi ánh xạ A-tuyến tính $f : a \to I$ tồn tại một phần tử $b \in I$ sao cho $f(a) = ab$ với mọi $a \in a$. ζ) $I$ là một nhân tử trực tiếp của mọi $A$-môđun chứa nó. θ) Đối với mọi $A$-môđun $E$ là tổng của $I$ và một môđun con đơn sinh, $I$ là một nhân tử trực tiếp của $E$. (Để bây giờ chứng minh rằng δ) kéo theo γ), hãy chỉ ra rằng tính chất δ) kéo theo rằng nếu $E$ là một $A$-môđun và $F$ là một môđun con của $E$ sao cho $E/F$ là đơn sinh, thì mọi ánh xạ tuyến tính từ $F$ vào $I$ mở rộng được thành một ánh xạ tuyến tính từ $E$ vào $I$. Sau đó dùng định lý Zorn. Để bây giờ chứng minh rằng θ) kéo theo δ), xét $A$-môđun $A_s \times I = M$, môđun con $N$ của $M$ tạo bởi các phần tử $(a, -f(a))$ với $a \in a$, và áp dụng θ) cho môđun thương $M/N$.) b) Để một $\mathbf{Z}$-môđun $E$ là đơn ánh, điều kiện cần và đủ là đối với mọi $x \in E$ và mọi số nguyên $n \neq 0$, tồn tại $y \in E$ sao cho $ny = x$. Đặc biệt, các $\mathbf{Z}$-môđun $\mathbf{Q}$ và $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$ là đơn ánh.