Exercice 11, § 2

Soient A un anneau, I un A-module. On dit que I est injectif si, pour toute suite exacte $E' \to E \to E''$ d’applications A-linéaires, la suite $\mathrm{Hom}(E'', I) \to \mathrm{Hom}(E, I) \to \mathrm{Hom}(E', I)$ est exacte. a) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes: α) I est injectif. β) Pour toute suite exacte $0 \to E' \to E \to E'' \to 0$ d’applications A-linéaires, la suite

est exacte. γ) Pour tout A-module M et tout sous-module N de M, toute application A-linéaire de N dans I se prolonge en une application A-linéaire de M dans I.

δ) Pour tout idéal à gauche $a$ de $A$ et toute application $A$-linéaire $f : a \to I$ il existe un élément $b \in I$ tel que $f(a) = ab$ pour tout $a \in a$. ζ) I est facteur direct de tout $A$-module qui le contient. θ) Pour tout $A$-module $E$ somme de $I$ et d’un sous-module monogène, I est facteur direct de $E$. (Pour prouver que δ) entraîne γ), montrer que la propriété δ) entraîne que si $E$ est un $A$-module et $F$ un sous-module de $E$ tel que $E/F$ soit monogène, alors toute application linéaire de $F$ dans $I$ se prolonge en une application linéaire de $E$ dans $I$. Utiliser ensuite le th. de Zorn. Pour prouver que θ) entraîne δ), considérer le $A$-module $A_s \times I = M$, le sous-module $N$ de $M$ formé des éléments $(a, -f(a))$ pour $a \in a$, et appliquer θ) au module quotient $M/N$.) b) Pour qu’un $\mathbf{Z}$-module $E$ soit injectif, il faut et il suffit que pour tout $x \in E$ et tout entier $n \neq 0$, il existe $y \in E$ tel que $ny = x$. En particulier, les $\mathbf{Z}$-modules $\mathbf{Q}$ et $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$ sont injectifs.