Bài tập 13, § 2

a) Cho $A$ là một vành, $I$ là một $A$-môđun đơn ánh (bài tập 11), sao cho, với mọi $A$-môđun đơn sinh khác không $E$, tồn tại một đồng cấu $A$ khác không từ $E$ vào $I$. Cho $M$ là một $A$-môđun, $N$ là một môđun con của $M$, $\tilde{N}$ là tập hợp các $u \in \mathrm{Hom}_A(M, I)$ sao cho $u(x) = 0$ trong $N$. Bây giờ chứng minh rằng với mọi $y \notin N$, tồn tại một $u \in \tilde{N}$ sao cho $u(y) \neq 0$. b) Cho $A$ là một vành. Với mọi song môđun $(A, A)$ $T$, và mọi $A$-môđun trái (tương ứng phải) $M$, $\mathrm{Hom}_A(M, T)$ được trang bị một cách chính tắc một cấu trúc $A$-môđun phải (tương ứng trái) xuất phát từ cấu trúc của $T$, và có một đồng cấu $A$ chính tắc $c_{M, T} : M \to \mathrm{Hom}_A(\mathrm{Hom}_A(M, T), T)$ sao cho $c_{M, T}(x)$ là đồng cấu $A$ $u \mapsto u(x)$. Bây giờ chứng minh rằng nếu $I$ là một song môđun $(A, A)$ mà, với tư cách là một $A$-môđun trái, thỏa mãn các điều kiện của a), thì đồng cấu chính tắc $c_{M, I}$ là đơn ánh với mọi $A$-môđun trái $M$. c) Giả sử rằng $I$ là một song môđun $(A, A)$, rằng nó là đơn ánh như một $A$-môđun trái và $A$-môđun phải, và rằng với mọi $A$-môđun đơn sinh (trái hoặc phải) $E \neq 0$, tồn tại một đồng cấu $A$ khác không từ $E$ vào $I$. Bây giờ chứng minh rằng dưới các điều kiện này, nếu $P$ là một $A$-môđun trái xạ ảnh (tương ứng phải), $\mathrm{Hom}_A(P, I)$ là một $A$-môđun phải (tương ứng trái) đơn ánh. (Giả sử rằng $P$ là một $A$-môđun trái xạ ảnh. Nhận xét rằng với mọi môđun con $N'$ của một $A$-môđun phải $N$, $\mathrm{Hom}_A(N', I)$ đẳng cấu với một môđun thương của $\mathrm{Hom}_A(N, I)$ và áp dụng b) cho môđun phải $N$ và môđun trái $P$.) d) Cho $C$ là một vành giao hoán, $A$ là một $C$-đại số, $I$ là một $C$-môđun đơn ánh sao cho với mọi $C$-môđun đơn sinh $E \neq \{0\}$ tồn tại một đồng cấu $C$ khác không từ $E$ vào $I$. Với mọi $A$-môđun $M$, $\mathrm{Hom}_C(M, I)$ là một $A$-môđun; bây giờ chứng minh rằng với mọi $A$-môđun xạ ảnh $P$, $\mathrm{Hom}_C(P, I)$ là một $A$-môđun đơn ánh (cùng lập luận như trong c)).