Exercice 13, § 2

a) Soient $A$ un anneau, $I$ un $A$-module injectif (exerc. 11), tel que, pour tout $A$-module monogène non nul $E$, il existe un $A$-homomorphisme non nul de $E$ dans $I$. Soient $M$ un $A$-module, $N$ un sous-module de $M$, $\tilde{N}$ l’ensemble des $u \in \mathrm{Hom}_A(M, I)$ tels que $u(x) = 0$ dans $N$. Montrer que pour tout $y \notin N$, il existe un $u \in \tilde{N}$ tel que $u(y) \neq 0$. b) Soit $A$ un anneau. Pour tout $(A, A)$-bimodule $T$, et tout $A$-module à gauche (resp. à droite) $M$, $\mathrm{Hom}_A(M, T)$ est canoniquement muni d’une structure de $A$-module à droite (resp. à gauche) provenant de celle de $T$, et on a un $A$-homomorphisme canonique $c_{M, T} : M \to \mathrm{Hom}_A(\mathrm{Hom}_A(M, T), T)$ tel que $c_{M, T}(x)$ soit le $A$-homomorphisme $u \mapsto u(x)$. Montrer que si $I$ est un $(A, A)$-bimodule qui, en tant que $A$-module à gauche, vérifie les conditions de a), alors l’homomorphisme canonique $c_{M, I}$ est injectif pour tout $A$-module à gauche $M$. c) On suppose que $I$ est un $(A, A)$-bimodule, qu’il est injectif en tant que $A$-module à gauche et $A$-module à droite, et que pour tout $A$-module monogène (à gauche ou à droite) $E \neq 0$, il existe un $A$-homomorphisme non nul de $E$ dans $I$. Montrer que dans ces conditions, si $P$ est un $A$-module projectif à gauche (resp. à droite), $\mathrm{Hom}_A(P, I)$ est un $A$-module injectif à droite (resp. à gauche). (Supposons que $P$ soit un $A$-module projectif à gauche. Observer que pour tout sous-module $N'$ d’un $A$-module à droite $N$, $\mathrm{Hom}_A(N', I)$ est isomorphe à un module quotient de $\mathrm{Hom}_A(N, I)$ et appliquer b) au module à droite $N$ et au module à gauche $P$.) d) Soient $C$ un anneau commutatif, $A$ une $C$-algèbre, $I$ un $C$-module injectif tel que pour tout $C$-module monogène $E \neq \{0\}$ il existe un $C$-homomorphisme non nul de $E$ dans $I$. Pour tout $A$-module $M$, $\mathrm{Hom}_C(M, I)$ est un $A$-module; montrer que pour tout $A$-module projectif $P$, $\mathrm{Hom}_C(P, I)$ est un $A$-module injectif (même raisonnement que dans c)).