Bài tập 16, § 2

Một môđun con E của một A-môđun F được gọi là bất khả quy đối với F (hay trong F) nếu $E \neq F$ và nếu E không phải là giao của hai môđun con của F phân biệt với E. a) Để một A-môđun F là một mở rộng cốt yếu của mỗi môđun con của nó $\neq \{0\}$, điều kiện cần và đủ là $\{0\}$ bất khả quy đối với F. b) Cho $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các môđun con của một A-môđun F. Ta nói rằng $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một phân tích bất khả quy rút gọn của $\{0\}$ trong F nếu mỗi $E_\lambda$ là bất khả quy trong F, nếu giao của các $E_\lambda$ được rút gọn thành 0 và nếu không một $E_\lambda$ nào chứa giao của các $E_\mu$ với $\mu \neq \lambda$. Khi đó, chứng minh rằng đồng cấu chính tắc của F vào $\bigoplus_{\lambda \in L} (F/E_\lambda)$ là cốt yếu (nếu $E'_\lambda = \bigcap_{\mu \neq \lambda} E_\mu$, nhận xét rằng ảnh $F'_\lambda$ của $E'_\lambda$ trong $F/E_\lambda$ là khác không, và rằng ảnh của F trong $\bigoplus_{\lambda \in L} (F/E_\lambda)$ chứa $\bigoplus_{\lambda \in L} F'_\lambda$; sau đó áp dụng bài tập 15 c)). Ngược lại, nếu $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các môđun con của F bất khả quy trong F và nếu đồng cấu chính tắc $F \to \bigoplus_{\lambda \in L} (F/E_\lambda)$ là cốt yếu, thì họ $(E_\lambda)$ là một phân tích bất khả quy rút gọn của $\{0\}$ trong F.