Exercice 16, § 2

On dit qu’un sous-module E d’un A-module F est irréductible par rapport à F (ou dans F) si $E \neq F$ et si E n’est pas intersection de deux sous-modules de F distincts de E. a) Pour qu’un A-module F soit extension essentielle de chacun de ses sous-modules $\neq \{0\}$, il faut et il suffit que $\{0\}$ soit irréductible par rapport à F. b) Soit $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille de sous-modules d’un A-module F. On dit que $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ est une décomposition irréductible réduite de $\{0\}$ dans F si chacun des $E_\lambda$ est irréductible dans F, si l’intersection des $E_\lambda$ est réduite à 0 et si aucun des $E_\lambda$ ne contient l’intersection des $E_\mu$ pour $\mu \neq \lambda$. Lorsqu’il en est ainsi, montrer que l’homomorphisme canonique de F dans $\bigoplus_{\lambda \in L} (F/E_\lambda)$ est essentiel (si $E'_\lambda = \bigcap_{\mu \neq \lambda} E_\mu$, observer que l’image $F'_\lambda$ de $E'_\lambda$ dans $F/E_\lambda$ n’est pas nulle, et que l’image de F dans $\bigoplus_{\lambda \in L} (F/E_\lambda)$ contient $\bigoplus_{\lambda \in L} F'_\lambda$; puis appliquer l’exerc. 15 c)). Réciproquement, si $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ est une famille de sous-modules de F irréductibles dans F et si l’homomorphisme canonique $F \to \bigoplus_{\lambda \in L} (F/E_\lambda)$ est essentiel, la famille $(E_\lambda)$ est une décomposition irréductible réduite de $\{0\}$ dans F.