Bài tập 17, § 2

(a) Cho M, N, M’, N’ là bốn môđun con của một môđun E, sao cho $M \cap N = M' \cap N' = P$. Bây giờ chứng minh rằng ta có

Suy ra rằng nếu M là bất khả quy trong E, thì nhất thiết có $P = M' \cap N$ hoặc $P = N' \cap N$. b) Cho $(N_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một họ hữu hạn các môđun con của E bất khả quy trong E, và cho M là giao của họ đó. Bây giờ chứng minh rằng nếu $(P_j)_{1 \leq j \leq m}$ là một họ hữu hạn các môđun con của E sao cho $M = \bigcap_j P_j$, thì, với mọi chỉ số i sao cho $1 \leq i \leq n$, tồn tại một chỉ số $\varphi(i)$ sao cho $1 \leq \varphi(i) \leq m$ và sao cho, nếu đặt $N'_i = \bigcap_{k \neq i} N_k$, thì có $M = P_{\varphi(i)} \cap N'_i$ (sử dụng a)). Suy ra rằng nếu không có $P_j$ nào chứa giao của các $P_k$ có chỉ số $\neq j$, thì có $m \leq n$ (thay thế lần lượt các $N_i$ bởi các $P_j$ thích hợp, sử dụng kết quả trước đó). Kết luận rằng hai phân tích bất khả quy của M trong E, một trong số đó là hữu hạn, tất yếu có cùng số các số hạng (xem II, p. 188, Bài tập 23).