Exercice 17, § 2

a) Soient M, N, M’, N’ quatre sous-modules d’un module E, tels que $M \cap N = M' \cap N' = P$. Montrer que l’on a

En déduire que si M est irréductible dans E, on a nécessairement $P = M' \cap N$ ou $P = N' \cap N$. b) Soit $(N_i)_{1 \leq i \leq n}$ une famille finie de sous-modules de E irréductibles dans E, et soit M son intersection. Montrer que si $(P_j)_{1 \leq j \leq m}$ est une famille finie de sous-modules de E telle que $M = \bigcap_j P_j$, alors, pour tout indice i tel que $1 \leq i \leq n$, il existe un indice $\varphi(i)$ tel que $1 \leq \varphi(i) \leq m$ et tel que, si on pose $N'_i = \bigcap_{k \neq i} N_k$, on ait $M = P_{\varphi(i)} \cap N'_i$ (utiliser a)). En déduire que si aucun des $P_j$ ne contient l’intersection des $P_k$ d’indice $\neq j$, on a $m \leq n$ (remplacer successivement les $N_i$ par des $P_j$ convenables, en utilisant le résultat précédent). Conclure que deux décompositions irréductibles de M dans E, dont l’une est finie, ont nécessairement le même nombre de termes (cf. II, p. 188, exerc. 23).