Bài tập 18, § 2

(a) Đối với một A-môđun I để là đơn ánh, bây giờ chứng minh rằng điều kiện cần và đủ là I không có mở rộng cốt yếu nào phân biệt với chính nó (bây giờ chứng minh rằng điều kiện này suy ra điều kiện $\delta$) của bài tập 11 a) của II, p. 184, bằng lập luận như khi chứng minh rằng $\theta$ suy ra $\delta$ trong bài tập này). (b) Cho I là một A-môđun đơn ánh. Để một môđun con E của I là đơn ánh, điều kiện cần và đủ là E không có mở rộng cốt yếu nào phân biệt với chính nó và được chứa trong I (sử dụng bài tập 15 e), bây giờ chứng minh rằng điều kiện này suy ra E là một nhân tử trực tiếp của I). (c) Cho I là một A-môđun đơn ánh, E là một môđun con của I, $h : E \to F$ là một đồng cấu cốt yếu. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu đơn cấu $j : F \to I$, sao cho $j \circ h$ là đơn ánh chính tắc của E vào I.

(d) Cho I là một A-môđun, E là một môđun con của I. Bây giờ chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: α) I là đơn ánh và là mở rộng cốt yếu của E. β) I là đơn ánh và đối với mọi đồng cấu đơn cấu j của E vào một A-môđun đơn ánh J, tồn tại một đồng cấu đơn cấu của I vào J mở rộng j. γ) I là đơn ánh, và là môđun con đơn ánh nhỏ nhất của I chứa E. δ) I là mở rộng cốt yếu của E và đối với mọi đồng cấu cốt yếu h : E → F, tồn tại một đồng cấu đơn cấu j : F → I sao cho $j \circ h$ là đơn ánh chính tắc của E vào I. (Sử dụng c) và a)). Khi các điều kiện tương đương này được thỏa mãn, I được gọi là bao đơn ánh của E; khi đó I cũng là bao đơn ánh của mọi môđun con của I chứa E. (e) Cho I là một A-môđun đơn ánh, E là một môđun con của I. Bây giờ chứng minh rằng mọi phần tử cực đại của tập hợp các mở rộng cốt yếu của E được chứa trong I đều là một bao đơn ánh của E (sử dụng b)). Đặc biệt, mọi A-môđun đều thừa nhận một bao đơn ánh (xem II, p. 185, bài tập 14). (f) Nếu I, I' là hai bao đơn ánh của cùng một A-môđun E, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một đẳng cấu của I lên I' giữ bất biến các phần tử của E.