Exercice 18, § 2

a) Pour qu’un A-module I soit injectif, montrer qu’il est nécessaire et suffisant que I n’admette aucune extension essentielle distincte de lui-même (montrer que cette condition entraîne la condition $\delta$) de l’exerc. 11 a) de II, p. 184, en raisonnant comme pour prouver que $\theta$ entraîne $\delta$ dans cet exercice). b) Soit I un A-module injectif. Pour qu’un sous-module E de I soit injectif, il faut et il suffit que E n’admette aucune extension essentielle distincte de lui-même et contenue dans I (en utilisant l’exerc. 15 e), montrer que cette condition entraîne que E est facteur direct de I). c) Soient I un A-module injectif, E un sous-module de I, $h : E \to F$ un homomorphisme essentiel. Montrer qu’il existe un homomorphisme injectif $j : F \to I$, tel que $j \circ h$ soit l’injection canonique de E dans I.

d) Soient I un A-module, E un sous-module de I. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes: α) I est injectif et est extension essentielle de E. β) I est injectif et pour tout homomorphisme injectif j de E dans un A-module injectif J, il existe un homomorphisme injectif de I dans J prolongeant j. γ) I est injectif, et est le plus petit sous-module injectif de I contenant E. δ) I est extension essentielle de E et pour tout homomorphisme essentiel h : E → F, il existe un homomorphisme injectif j : F → I tel que j ∘ h soit l'injection canonique de E dans I. (Utiliser c) et a)). Lorsque ces conditions équivalentes sont vérifiées, on dit que I est une enveloppe injective de E; I est alors aussi une enveloppe injective de tout sous-module de I contenant E. e) Soient I un A-module injectif, E un sous-module de I. Montrer que tout élément maximal de l'ensemble des extensions essentielles de E contenues dans I est une enveloppe injective de E (utiliser b)). En particulier, tout A-module admet une enveloppe injective (cf. II, p. 185, exerc. 14). f) Si I, I' sont deux enveloppes injectives d'un même A-module E, montrer qu'il existe un isomorphisme de I sur I' laissant invariants les éléments de E.