Bài tập 19, § 2

(a) Cho E, F là hai A-môđun, M là một môđun con đơn ánh của E ⊕ F. Gọi I là một bao đơn ánh của M ∩ E trong M, J là một phần bù trực tiếp của I trong M. Bây giờ chứng minh rằng hạn chế vào I (tương ứng J) của phép chiếu chính tắc của E ⊕ F lên E (tương ứng F) là đơn ánh (lấy hợp thành với phép chiếu của I vào E một mở rộng E → I của đơn ánh M ∩ E → I).

(b) Cho E là một A-môđun, M là một môđun con của E, cực đại trong tập hợp các môđun con đơn ánh của E; M có trong E một phần bù trực tiếp N không chứa môđun con đơn ánh nào khác $\{0\}$. Bây giờ chứng minh rằng với mọi môđun con đơn ánh P của E, ảnh của P qua phép chiếu của E lên M (đối với phân tích của E thành tổng trực tiếp M ⊕ N) là một bao đơn ánh của P ∩ M trong M (sử dụng (a)). Nếu M' là một môđun con thứ hai của E, cực đại trong tập hợp các môđun con đơn ánh của E, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một tự đẳng cấu của E biến M thành M' và giữ bất biến các phần tử của N.