Exercice 19, § 2

a) Soient E, F deux A-modules, M un sous-module injectif de E ⊕ F. Soit I une enveloppe injective de M ∩ E dans M, J un supplémentaire de I dans M. Montrer que la restriction à I (resp. J) de la projection canonique de E ⊕ F sur E (resp. F) est injective (composer avec la projection de I dans E un prolongement E → I de l'injection M ∩ E → I). b) Soient E un A-module, M un sous-module de E, maximal dans l'ensemble des sous-modules injectifs de E; M admet dans E un supplémentaire N qui ne contient aucun sous-module injectif ≠ {0}. Montrer que pour tout sous-module injectif P de E, l'image de P par la projection de E sur M (pour la décomposition de E en somme directe M ⊕ N) est une enveloppe injective de P ∩ M dans M (utiliser a)). Si M' est un second sous-module de E, maximal dans l'ensemble des sous-modules injectifs de E, montrer qu'il existe un automorphisme de E transformant M en M' et laissant invariants les éléments de N.