Bài tập 20, § 2

a) Cho A là một vành thừa nhận một trường phân thức trái K (I, p. 155, Bài tập 15). Chứng minh rằng K, được xét như một A-môđun trái của A, là một bao đơn ánh của A_s. (Áp dụng tiêu chuẩn α) của Bài tập 18 d) và tiêu chuẩn δ) của Bài tập 11 a) (II, p. 184) bằng cách nhận xét rằng nếu f : a → K là một ánh xạ A-tuyến tính của một iđêan trái a của A vào K, phần tử x^{-1}f(x) với x ∈ a, x ≠ 0 (nghịch đảo được lấy trong K) không phụ thuộc vào x ∈ a). b) Cho U_p là môđun con-\mathbf{Z} của \mathbf{Q}/\mathbf{Z} được tạo thành bởi các ảnh chính tắc của các số hữu tỉ có dạng k/p^n, trong đó p là một số nguyên tố cho trước, k ∈ \mathbf{Z} và n ∈ \mathbf{N} (II, p. 180, Bài tập 12 d). Chứng minh rằng U_p là một bao đơn ánh của mỗi môđun-\mathbf{Z} p^{-n}\mathbf{Z}/\mathbf{Z}, đẳng cấu với \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}. Chứng minh rằng tồn tại các tự đẳng cấu của U_p, khác với tự đẳng cấu đồng nhất, và bất biến các phần tử của một môđun con p^{-n}\mathbf{Z}/\mathbf{Z}.