Exercice 20, § 2

a) Soit A un anneau admettant un corps des fractions à gauche K (I, p. 155, exerc. 15). Montrer que K, considéré comme A-module à gauche, est une enveloppe injective de A_s. (Appliquer le critère α) de l'exerc. 18 d) et le critère δ) de l'exerc. 11 a) (II, p. 184) en remarquant que si f : a → K est une application A-linéaire d'un idéal à gauche a de A dans K, l'élément x^{-1}f(x) pour x ∈ a, x ≠ 0 (l'inverse étant pris dans K) ne dépend pas de x ∈ a). b) Soit U_p le sous-\mathbf{Z}-module de \mathbf{Q}/\mathbf{Z} formé des images canoniques des nombres rationnels de la forme k/p^n, où p est un nombre premier donné, k ∈ \mathbf{Z} et n ∈ \mathbf{N} (II, p. 180, exerc. 12 d). Montrer que U_p est une enveloppe injective de chacun des \mathbf{Z}-modules p^{-n}\mathbf{Z}/\mathbf{Z}, isomorphe à \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}. Montrer qu'il existe des automorphismes de U_p, distincts de l'automorphisme identique, et laissant invariants les éléments d'un sous-module p^{-n}\mathbf{Z}/\mathbf{Z}.