Bài tập 21, § 2

(a) Cho (E_j)_{j ∈ J} là một họ hữu hạn các A-môđun, và với mọi j ∈ J, cho I_j là bao đơn ánh của E_j; bây giờ chứng minh rằng $\bigoplus_{j \in J} I_j$ là một bao đơn ánh của $\bigoplus_{j \in J} E_j$. (b) Người ta nói rằng một A-môđun M là không phân tích được nếu nó phân biệt với {0} và nếu nó không là một tổng trực tiếp của hai môđun con phân biệt với {0}. Bây giờ chứng minh rằng nếu I là một A-môđun đơn ánh, các tính chất sau là tương đương: α) {0} là một môđun con bất khả quy trong I. β) I là không phân tích được. γ) I là một bao đơn ánh của mỗi môđun con của nó ≠ {0}. (Sử dụng a) và Bài tập 18 e).) δ) I đẳng cấu với bao đơn ánh I(A/q), trong đó q là một iđêan trái bất khả quy trong A. Hơn nữa, khi điều này xảy ra, với mọi x ≠ 0 trong I, Ann(x) là một iđêan trái bất khả quy trong A, và I đẳng cấu với I(A/Ann(x)).

Suy ra rằng để bao đơn ánh của một A-môđun E là không phân tích được, điều kiện cần và đủ là {0} là một môđun con bất khả quy trong E. (c) Cho một ví dụ về một $\mathbf{Z}$-môđun E không phân tích được sao cho bao đơn ánh $I(E)$ của nó là phân tích được (xem VII, § 3, Bài tập 5). (d) Cho E là một A-môđun, I là một bao đơn ánh của E, $I = \bigoplus_{\lambda \in L} I_\lambda$ là một phân tích của I thành tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các môđun con đơn ánh không phân tích được; với mọi $\lambda \in L$, cho $J_\lambda = \bigoplus_{\mu \neq \lambda} I_\mu$, và cho $N_\lambda = J_\lambda \cap E$. Bây giờ chứng minh rằng $(N_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một phân tích bất khả quy thu gọn của {0} trong E (II, p. 186, Bài tập 16 b)) và rằng $I_\lambda$ là một bao đơn ánh của $E/N_\lambda$. Ngược lại, mọi phân tích bất khả quy thu gọn của {0} trong E có thể thu được bằng thủ tục trên theo một và chỉ một cách sai khác một đẳng cấu (sử dụng Bài tập 16 b) của II, p. 186).