Exercice 21, § 2

a) Soit (E_j)_{j ∈ J} une famille finie de A-modules, et pour tout j ∈ J, soit I_j une enveloppe injective de E_j; montrer que $\bigoplus_{j \in J} I_j$ est une enveloppe injective de $\bigoplus_{j \in J} E_j$. b) On dit qu'un A-module M est indécomposable s'il est distinct de {0} et s'il n'est pas somme directe de deux sous-modules distincts de {0}. Montrer que si I est un A-module injectif, les propriétés suivantes sont équivalentes: α) {0} est un sous-module irréductible dans I. β) I est indécomposable. γ) I est une enveloppe injective de chacun de ses sous-modules ≠ {0}. (Utiliser a) et l'exerc. 18 e).) δ) I est isomorphe à l'enveloppe injective I(A/q), où q est un idéal à gauche irréductible dans A. En outre, lorsqu'il en est ainsi, pour tout x ≠ 0 dans I, Ann(x) est un idéal à gauche irréductible dans A, et I est isomorphe à I(A/Ann(x)).

En déduire que pour que l’enveloppe injective d’un A-module E soit indécomposable, il faut et il suffit que {0} soit un sous-module irréductible dans E. c) Donner un exemple de $\mathbf{Z}$-module indécomposable E tel que son enveloppe injective $I(E)$ soit décomposable (cf. VII, § 3, exerc. 5). d) Soient E un A-module, I une enveloppe injective de E, $I = \bigoplus_{\lambda \in L} I_\lambda$ une décomposition de I en somme directe d’une famille finie de sous-modules injectifs indécomposables; pour tout $\lambda \in L$, soit $J_\lambda = \bigoplus_{\mu \neq \lambda} I_\mu$, et soit $N_\lambda = J_\lambda \cap E$. Montrer que $(N_\lambda)_{\lambda \in L}$ est une décomposition irréductible réduite de {0} dans E (II, p. 186, exerc. 16 b)) et que $I_\lambda$ est une enveloppe injective de $E/N_\lambda$. Inversement, toute décomposition irréductible réduite de {0} dans E peut être obtenue par le procédé précédent d’une seule manière à un isomorphisme près (utiliser l’exerc. 16 b) de II, p. 186).