Bài tập 7, § 2

a) Nếu u là một tự đồng cấu toàn ánh của một A-môđun E, thì u không là một ước phải của không trong $\mathrm{End}_A(E)$. Ngược lại, nếu đối với mọi môđun con $F \neq E$ của E, tồn tại một dạng tuyến tính $x^* \in E^*$, bằng không trên F và toàn ánh, thì mọi phần tử không là một ước phải của không trong $\mathrm{End}_A(E)$ đều là một tự đồng cấu toàn ánh. b) Nếu E là $\mathbf{Z}$-môđun được định nghĩa trong bài tập 6 c), hãy chứng minh rằng mọi tự đồng cấu $\neq 0$ của E là toàn ánh, mặc dù không tồn tại dạng tuyến tính $\neq 0$ nào trên E.

c) Chứng minh rằng nếu E là một $\mathbf{Z}$-môđun tự do $\neq 0$, thì tồn tại các tự đồng cấu không toàn ánh của E không là các ước phải của không trong $\mathrm{End}_{\mathbf{Z}}(E)$.