Exercice 7, § 2

a) Si u est un endomorphisme surjectif d’un A-module E, u est non diviseur de zéro à droite dans $\mathrm{End}_A(E)$. Inversement, si pour tout sous-module $F \neq E$ de E, il existe une forme linéaire $x^* \in E^*$, nulle sur F et surjective, tout élément non diviseur de zéro à droite dans $\mathrm{End}_A(E)$ est un endomorphisme surjectif. b) Si E est le $\mathbf{Z}$-module défini dans l’exerc. 6 c), montrer que tout endomorphisme $\neq 0$ de E est surjectif, bien qu’il n’existe aucune forme linéaire $\neq 0$ sur E.

c) Montrer que si E est un $\mathbf{Z}$-module libre $\neq 0$, il existe des endomorphismes non surjectifs de E qui ne sont pas diviseurs à droite de 0 dans $\mathrm{End}_{\mathbf{Z}}(E)$.