Bài tập 8, § 2

(a) Cho E là một A-môđun tự do, F, G là hai A-môđun và $u : E \to G$, $v : F \to G$ là hai ánh xạ tuyến tính. Chứng minh rằng nếu $u(E) \subset v(F)$, tồn tại một ánh xạ tuyến tính $w : E \to F$ sao cho $u = v \circ w$.

(b) Cho một ví dụ về hai tự đồng cấu khác không $u, v$ của $\mathbf{Z}$-môđun E được định nghĩa trong Bài tập 6(c) sao cho không tồn tại tự đồng cấu $w$ của E mà $u = v \circ w$ (mặc dù $u(E) = v(E) = E$).

(c) Cho một ví dụ về hai tự đồng cấu $u, v$ của $\mathbf{Z}$-môđun $\mathbf{Z}$ sao cho $-u^{-1}(0) = -v^{-1}(0) = \{0\}$, nhưng không tồn tại tự đồng cấu $w$ của $\mathbf{Z}$ mà $u = w \circ v$ (xem § 7, Bài tập 14).