Exercice 8, § 2

a) Soient E un A-module libre, F, G deux A-modules, $u : E \to G$, $v : F \to G$ deux applications linéaires. Montrer que si l’on a $u(E) \subset v(F)$, il existe une application linéaire $w : E \to F$ telle que $u = v \circ w$. b) Donner un exemple de deux endomorphismes $u, v$ non nuls du $\mathbf{Z}$-module E défini dans l’exerc. 6 c) de II, p. 183, tels qu’il n’existe aucun endomorphisme $w$ de E pour lequel $u = v \circ w$ (bien que $u(E) = v(E) = E$). c) Donner un exemple de deux endomorphismes $u, v$ du $\mathbf{Z}$-module $\mathbf{Z}$ tels que $\overline{u}^1(0) = \overline{v}^1(0) = \{0\}$, mais tels qu’il n’existe aucun endomorphisme $w$ de $\mathbf{Z}$ pour lequel $u = w \circ v$ (cf. II, p. 195, exerc. 14).