Bài tập 1, § 10

Nếu A và B là các K-đại số và $\alpha$ và $\beta$ là hai K-đồng cấu của A vào B, thì một đạo hàm $(\alpha, \beta)$ của A vào B là một ánh xạ K-tuyến tính $d$ của A vào B thỏa mãn quan hệ

nói cách khác, là một đạo hàm theo nghĩa của Định nghĩa 1 (no. 2) trong đó $A = A' = A''$, $B = B' = B''$, $d = d' = d''$, $\mu : A \times A \to A$ là phép nhân, $\lambda_1 : B \times A \to B$ là ánh xạ K-song tuyến tính $(z, x) \mapsto z\alpha(x)$ và $\lambda_2 : A \times B \to B$ là ánh xạ K-song tuyến tính $(x, z) \mapsto \beta(x)z$.

Từ đây giả sử rằng A và B là các trường giao hoán và rằng $\alpha \neq \beta$. Chứng minh rằng khi đó tồn tại một phần tử $b \in B$ sao cho $d$ là đạo hàm $(\alpha, \beta)$ $x \mapsto b\alpha(x) - \beta(x)b$. (Có thể giả thiết rằng $d \neq 0$. Trước hết hãy chứng minh rằng hạt nhân N của $d$ là tập hợp các $x \in A$ sao cho $\alpha(x) = \beta(x)$ rồi chứng minh rằng với $x \notin N$ thì phần tử $b = d(x)/(\alpha(x) - \beta(x))$ là độc lập đối với lựa chọn $x$.)