Exercice 1, § 10

Si $A$ et $B$ sont des $K$-algèbres, $\alpha$ et $\beta$ deux $K$-homomorphismes de $A$ dans $B$, on appelle $(\alpha, \beta)$-dérivation de $A$ dans $B$ une application $K$-linéaire $d$ de $A$ dans $B$ vérifiant la relation

autrement dit, une dérivation au sens de la déf. 1 (III, p. 117) où $A = A' = A''$, $B = B' = B''$, $d = d' = d''$, $\mu : A \times A \to A$ est la multiplication, $\lambda_1 : B \times A \to B$ est l’application $K$-bilinéaire $(z, x) \mapsto z \alpha(x)$ et $\lambda_2 : A \times B \to B$ l’application $K$-bilinéaire $(x, z) \mapsto \beta(x)z$.

On suppose désormais que $A$ et $B$ sont des corps commutatifs et que $\alpha \neq \beta$. Montrer qu’il existe alors un élément $b \in B$ tel que $d$ soit la $(\alpha, \beta)$-dérivation $x \mapsto b \alpha(x) - \beta(x)b$. (On peut supposer $d \neq 0$. Montrer d’abord que le noyau $N$ de $d$ est l’ensemble des $x \in A$ tels que $\alpha(x) = \beta(x)$, puis montrer que pour $x \notin N$, l’élément $b = d(x)/(\alpha(x) - \beta(x))$ est indépendant du choix de $x$.)