Bài tập 2, § 10

Cho K là một trường giao hoán có đặc số $\neq 2$, A và B là hai K-đại số và $\alpha$ là một ánh xạ K-tuyến tính từ A vào B; một $\alpha$-đạo hàm từ A vào B là một ánh xạ K-tuyến tính $d$ từ A vào B thỏa mãn quan hệ

nói cách khác, là một đạo hàm theo nghĩa của Định nghĩa 1 với $A = A' = A''$, $B = B' = B''$, $d = d' = d''$, $\mu$ là phép nhân trong A, $\lambda_1$ là ánh xạ $(z, x) \mapsto z\alpha(x)$ từ $B \times A$ vào B và $\lambda_2$ là ánh xạ $(x, z) \mapsto \alpha(x)z$ từ $A \times B$ vào B.

Hãy chỉ ra rằng nếu B là một trường giao hoán, một mở rộng của K, và $d \neq 0$, thì tồn tại $b \neq 0$ trong B sao cho

Nếu $b = c^2$ với $c \in B, c \neq 0$, thì tồn tại hai đồng cấu $f, g$ từ A vào B sao cho $\alpha(x) = (f(x) + g(x))/2$, $dx = (f(x) - g(x))/2c$. Nếu không, thì tồn tại một đại số bậc hai ($§ 2$, no. 3) B' trên B, một $\mu \in B'$ sao cho $\mu^2 = c$, và một đồng cấu $f$ từ A vào B' sao cho $\alpha(x) = (f(x) + \overline{f(x)})/2$, $dx = (f(x) - \overline{f(x)})/2$.