Exercice 2, § 10

Soient $K$ un corps commutatif de caractéristique $\neq 2$, $A$ et $B$ deux $K$-algèbres, $\alpha$ une application $K$-linéaire de $A$ dans $B$; on appelle $\alpha$-dérivation de $A$ dans $B$ une application $K$-linéaire $d$ de $A$ dans $B$ vérifiant la relation

autrement dit, une dérivation au sens de la déf. 1 avec $A = A' = A''$, $B = B' = B''$, $d = d' = d''$, $\mu$ étant la multiplication dans $A$, $\lambda_1$ l’application $(z, x) \mapsto z \alpha(x)$ de $B \times A$ dans $B$, et $\lambda_2$ l’application $(x, z) \mapsto \alpha(x)z$ de $A \times B$ dans $B$.

Montrer que si B est un corps commutatif, extension de K, et si d ≠ 0, il existe un b ≠ 0 dans B tel que

Si $b = c^2$ avec $c \in B$ et $c \neq 0$, il existe deux homomorphismes $f, g$ de A dans B tels que $\alpha(x) = (f(x) + g(x))/2$, $dx = (f(x) - g(x))/2c$. Dans le cas contraire, il existe une algèbre quadratique (III, p. 13) B' sur B, un $\mu \in B'$ tel que $\mu^2 = c$, et un homomorphisme $f$ de A dans B' tels que $\alpha(x) = (f(x) + \overline{f(x)})/2$, $dx = (f(x) - \overline{f(x)})/2$.