Bài tập 1, § 2

Cho E là một đại số trên A với một cơ sở gồm hai phần tử $e_1, e_2$ và một phần tử đơn vị $e = \lambda e_1 + \mu e_2$.

(a) Chứng minh rằng iđêan $a$ của A sinh bởi $\lambda$ và $\mu$ là toàn bộ vành A (trong trường hợp ngược lại, chú ý rằng sẽ có $E/aE = E \otimes_A (A/a) = \{0\}$, trái với sự kiện là $A/a \neq \{0\}$ và E là một A-môđun tự do).

(b) Nếu $\alpha, \beta$ là hai phần tử của A sao cho $\alpha \lambda + \beta \mu = 1$, hãy chứng minh rằng các phần tử $e$ và $u = \beta e_1 - \alpha e_2$ cũng tạo thành một cơ sở của E và suy ra rằng E là một đại số bậc hai trên A.