Exercice 1, § 2

Soit E une A-algèbre ayant une base de deux éléments $e_1, e_2$ et un élément unité $e = \lambda e_1 + \mu e_2$. a) Montrer que l’idéal $a$ de A engendré par $\lambda$ et $\mu$ est l’anneau A tout entier (dans le cas contraire, noter que l’on aurait $E/aE = E \otimes_A (A/a) = \{0\}$ contrairement au fait que $A/a \neq \{0\}$ et que E est un A-module libre). b) Si $\alpha, \beta$ sont deux éléments de A tels que $\alpha \lambda + \beta \mu = 1$, montrer que les éléments $e$ et $u = \beta e_1 - \alpha e_2$ forment encore une base de E, et en déduire que E est une A-algèbre quadratique.