Bài tập 11, § 2

Cho A là một vành giao hoán và S là một nửa nhóm giao hoán có phần tử đơn vị $e$. Giả sử trên A có một phép toán ngoài $(s, x) \mapsto x^s$ với S là miền của các toán tử, sao cho, với mọi $s \in S$, ánh xạ $x \mapsto x^s$ là một tự đẳng cấu của vành A và $(x^s)^t = x^{st}$ với mọi $x \in A$ và $s$ và $t$ thuộc S (điều này kéo theo rằng $e$ là toán tử đơn vị của phép toán ngoài đang xét). Khi đó, trên A-môđun $A^{(S)}$ có một luật hợp thành nội nhân được xác định, mà cơ sở chính tắc được ký hiệu là $(b_s)$, bởi quan hệ

trong đó $a_{s,t}$ thuộc A.

Chứng minh rằng luật này và phép cộng trên $A^{(S)}$ xác định một cấu trúc vành trên tập hợp này, với điều kiện các $a_{s,t}$ thỏa mãn các điều kiện

với mọi $s, t, u$ trong S. Phần tử $b_e$ là phần tử đơn vị của vành này nếu thêm

với mọi $s \in S$; trong trường hợp đó A có thể được đồng nhất với một vành con của $A^{(S)}$ và nếu C ký hiệu vành con của A gồm các phần tử bất biến dưới mọi tự đẳng cấu $x \mapsto x^s$, thì $A^{(S)}$ là một C-đại số, được gọi là tích chéo của vành A và nửa nhóm S, tương ứng với hệ nhân tử $(a_{s,t})$. Nếu hệ nhân tử $(a_{s,t})$ được thay bởi $\left( \frac{c_s c_t^s}{c_{st}} a_{s,t} \right)$, trong đó, với mọi $s \in S$, $c_s$ là một phần tử khả nghịch của A và $c_e = 1$, thì tích chéo mới nhận được là đẳng cấu với tích chéo được xác định bởi hệ nhân tử $(a_{s,t})$.

Nếu đặc biệt A được lấy là một đại số bậc hai trên một vành C và S là một nhóm cyclic cấp 2, chẳng hạn $\{e, s\}$, sao cho $x^s = \bar{x}$ với $x \in A$, hãy chứng minh rằng mọi tích chéo của A và S là một đại số quaternion trên C.