Exercice 11, § 2

Soient A un anneau commutatif, S un monoïde commutatif d’élément neutre e. On suppose donnée sur A une loi d’action $(s, x) \mapsto x^s$ ayant S comme domaine d’opérateurs, telle que, pour tout $s \in S$, l’application $x \mapsto x^s$ soit un automorphisme de l’anneau A, et que $(x^s)^t = x^{st}$ quels que soient $x \in A, s$ et $t$ dans S (ce qui implique que e est opérateur neutre pour la loi d’action considérée). Cela étant, sur le A-module $A^{(S)}$, dont on désignera par $(b_s)$ la base canonique, on définit une loi de composition multiplicative par la relation

où les $a_{s,t}$ appartiennent à A.

Montrer que cette loi et l’addition dans $A^{(S)}$ définissent sur cet ensemble une structure d’anneau, pourvu que les $a_{s,t}$ satisfassent aux conditions

quels que soient $s, t, u$ dans S. L’élément $b_e$ est élément unité pour cet anneau si l’on a en outre $a_{e,s} = a_{s,e} = 1$ pour tout $s \in S$; dans ce cas on peut identifier A à un sous-anneau de $A^{(S)}$, et si C désigne le sous-anneau de A formé des éléments invariants par tous les automorphismes $x \mapsto x^s$, $A^{(S)}$ est une C-algèbre, qu’on appelle produit croisé de l’anneau A et du monoïde S, relativement au système de facteurs $(a_{s,t})$. Si l’on remplace le système de facteurs $(a_{s,t})$ par $\left( \frac{c_s c_t^s}{c_{st}} a_{s,t} \right)$, où, pour tout $s \in S$, $c_s$ est un élément inversible de A et $c_e = 1$, le nouveau produit croisé obtenu est isomorphe au produit croisé défini par le système de facteurs $(a_{s,t})$.

Si on prend en particulier pour A une algèbre quadratique sur un anneau C, pour S un groupe cyclique d’ordre 2, soit $\{e, s\}$, tel que $x^s = \bar{x}$ pour $x \in A$, montrer que tout produit croisé de A et S est une algèbre de quaternions sur C.