Bài tập 14, § 2

(a) Cho M là một monoid có luật hợp thành được ký hiệu bởi T; giả sử thêm rằng M được sắp thứ tự toàn phần bởi một quan hệ thứ tự x ≤ y sao cho các quan hệ x < y và x' ≤ y', hoặc x ≤ y và x' < y', kéo theo x T x' < y T y'. Chứng minh rằng nếu A là một miền nguyên, đại số trên A của monoid M không có ước của 0.

(b) Suy ra rằng nếu A là một miền nguyên, mọi đại số đa thức A[(X_i)_{i \in I}] là một miền nguyên.

(c) Nếu A là một miền nguyên và f và g là hai đa thức trong A[(X_i)_{i \in I}] sao cho fg là thuần nhất và ≠0, chứng minh rằng f và g là thuần nhất. Đặc biệt, các phần tử khả nghịch của vành A[(X_i)_{i \in I}] là các phần tử khả nghịch của vành A.