Exercice 14, § 2

a) Soit $M$ un monoïde dont on note $T$ la loi de composition; on suppose en outre $M$ totalement ordonné par une relation d’ordre $x \leq y$, telle que les relations $x < y$ et $x' \leq y'$, ou $x \leq y$ et $x' < y'$, entraînent $x \top x' < y \top y'$. Montrer que si $A$ est un anneau intègre, l’algèbre sur $A$ du monoïde $M$ n’a pas de diviseurs de 0. b) En déduire que si $A$ est un anneau intègre, toute algèbre de polynômes $A[(X_i)_{i \in I}]$ est un anneau intègre. c) Si $A$ est un anneau intègre, $f$ et $g$ deux polynômes de $A[(X_i)_{i \in I}]$ tels que $fg$ soit homogène et $\neq 0$, montrer que $f$ et $g$ sont homogènes. En particulier, les éléments inversibles de l’anneau $A[(X_i)_{i \in I}]$ sont les éléments inversibles de l’anneau $A$.