Bài tập 16, § 2

Cho $A$ là một vành giao hoán và $u = \sum_{k=0}^m a_k X^k$ là một ước của $0$ trong vành $A[X]$. Chứng minh rằng nếu $v = \sum_{k=0}^n b_k X^k$ là một phần tử $\ne0$ của $A[X]$ có bậc $n$ sao cho $uv = 0$, thì tồn tại một đa thức $w \ne 0$ có bậc $\le n − 1$ sao cho $uw = 0$. (Rút gọn về trường hợp $b_0 \ne 0$; nếu $a_kv = 0$ với $0 \le k \le m − 1$, hãy chứng minh rằng ta có thể lấy $w = b_0$; nếu $a_kv = 0$ với $0 \le k < p \le m − 1$ và $a_p v \ne 0$, hãy chứng minh rằng $a_p b_0 = 0$ và do đó ta có thể lấy $w = \sum_{k=0}^{n-1} a_p b_{k+1} X^k$.) Suy ra rằng tồn tại một phần tử $c \ne 0$ của $A$ sao cho $cu = 0$.