Exercice 16, § 2

Soient $A$ un anneau commutatif, $u = \sum_{k=0}^{m} a_k X^k$ un diviseur de 0 dans l’anneau $A[X]$. Montrer que si $v = \sum_{k=0}^{n} b_k X^k$ est un élément $\neq 0$ de $A[X]$ de degré $n$, tel que $uv = 0$, il existe un polynôme $w \neq 0$, de degré $\leq n - 1$, tel que $uw = 0$. (Se ramener au cas où $b_0 \neq 0$; si $a_kv = 0$ pour $0 \leq k \leq m - 1$, montrer qu’on peut prendre $w = b_0$; si $a_kv = 0$ pour $0 \leq k < p \leq m - 1$ et $a_p v \neq 0$, montrer qu’on a $a_p b_0 = 0$ et par suite qu’on peut prendre $w = \sum_{k=0}^{n-i} a_p b_{k+1} X^k$.) En déduire qu’il existe un élément $c \neq 0$ de $A$ tel que $cu = 0$.